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既然數學不完備,為什麼基於數學的物理學能描述宇宙?


宇宙接觸​數學是一門十分抽象的學科,數學家通過邏輯推理構建出嚴謹的數學定理。隨著數學的發展,數學被廣泛應用於科學領域,尤其是物理學。正如著名數學家高斯所言:數學是科學的皇后。數學非...

- 2020年4月09日12時26分
- 科學文摘 / 宇宙接觸

宇宙接觸

​數學是一門十分抽象的學科,數學家通過邏輯推理構建出嚴謹的數學定理。隨著數學的發展,數學被廣泛應用於科學領域,尤其是物理學。正如著名數學家高斯所言:數學是科學的皇后。

數學非常嚴謹,它們已經在物理學中大顯威力。物理學家基於數學創立物理定律,這可以描述宇宙中的各種現象,所以數學在物理學的應用十分成功。


但即便如此,很多數學定理證明了數學之力是有極限的。那麼,這些定理與科學,尤其是物理學有多大關係呢?

哥德爾不完備定理

數學家哥德爾發現,在一切蘊涵皮亞諾公理(關於自然數的五條公理系統,也就是初等數論)的形式系統中,可以構造出無法證明也無法證偽的命題,也不能證明本身的兼容性。這個發現打破了數學家在此前兩千年來所形成的認知,數學其實是不完備的。

不過,哥德爾不完備定理與科學實踐無關。這是因為數學家總是可以用另一個公理來擴展原來的公理系統,只是這個公理無法表明先前不可判定的命題是否為真。

不可判定性:物理學中如何處理數學的不完備性?

在物理學中,理論是一組數學公理,就像哥德爾不完備定理所涉及的那些公理一樣。不過,物理學理論還為如何用可測量的量來確定數學結構提供了一種方法。畢竟,物理學是科學,不是純粹的邏輯數學。


因此,如果物理學中有任何不可判定的命題,物理學家會通過實驗測量來判定它,然後再引入一個與結果一致的公理。或者,如果不可判定的命題沒有對應可觀測到的結果,那麼,物理學家也可以忽略它。

不可計算性

關於不可計算性的數學定理在物理學上同樣是不相關的,但原因不同。不可計算性的問題在於它總是來自於無限的東西,但現實中沒有任何東西是真正無限的。因此,這些定理其實並不適用於我們能在自然界中找到的任何東西。

圖靈停機問題

圖靈停機問題可以說明這個問題。計算機科學之父圖靈則提出一個設想,試著找到一個元算法,它可以告訴我們另一個算法在有限時間內是否會結束運行。圖靈證明,這樣的元算法不存在。這是一種無限大的類,在現實中,我們永遠不會需要一個算法來回答無窮多的問題。

在數學中,大多數實數是不可計算的,這是因為沒有算法可以在有限的時間內把它們近似到某一有限的精度。但在物理學中,物理學家從不處理實數。物理學家處理是有限小數位的數,並且帶有誤差線。

不可預測性

量子力學有一個不可預測的因素,但這種不可預測性是相當無趣的,因為它是通過假設得到的。更有趣的是混沌系統的不可預測性。

對於一些混沌系統,它們有一種特殊的不可預測性。即使知道任意精確的初始條件,我們也只能在有限的時間內做出預測。在現實世界中,這種情況是否真的會發生,目前還不清楚。


這種不可預測方程的一個例子是納維-斯托克斯方程(N-S方程),它常被用於天氣預報。N-S方程是否在某些情況下會導致不可預測的情況,目前尚不清楚,這是當今最難的數學問題之一。

如果假設這個問題已經解決了,N-S方程有時確實不可能在有限時間之內做出預測。那麼,我們能從中了解到關於自然的什麼?不是很多,因為我們已經知道N-S方程只是一個近似值。

事實上,氣體、液體都是由微觀粒子構成的,這應該用量子力學來描述,但量子力學並沒有那種混沌的不可預測性。不過,量子力學或許最終也不是正確的理論。因此,我們真的不能說大自然是可預測的,還是不可預測的。

這是一個將不可能性定理應用於自然的一般性問題。我們永遠不知道物理學中所做的數學假設是否真的正確,或者如果有一天它們會被更好的東西取代。物理是科學,不是數學。物理學家使用數學是因為它有用,而不是因為物理學家認為大自然就是數學。

也許N-S方程根本就不是預報天氣的正確方程,但我們目前正在使用它。正因為如此,知道什麼時候會出現不可預測的情況是很重要的,這樣可以避免出錯。這對於天氣來說並不可行,但對於某些混沌系統是可行的,例如,核聚變中的等離子體。

在核聚變過程中,等離子體有時會產生不穩定性,破壞保護殼。因此,一旦出現不穩定的情況,核聚變就必須迅速停止,這會讓核聚變效率變得非常低。如果能夠知道什麼時候會出現不可預測的情況,就能在第一時間阻止它們發生。

總結

所有這些聽起來就像不可判定性、不可計算性和不可預測性的問題都是屬於數學,與科學無關。但從某種意義上來說,數學中的不可能性定理在科學中又是相關的,這並不是因為它們告訴我們一些關於自然本質的東西,而是因為我們在實踐中使用數學來理解所觀測到的自然現象,定理可以告訴我們物理學理論能做些什麼預測。


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