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狹義相對性原理


- 2018年7月18日23時53分
- 科學文摘 / 知乎專欄

知乎專欄

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量子場論(0)

量子場論(1)


說好了從零開始,那就從零開始好了。我們的出發點是,構造一種和狹義相對論相容的量子理論,所以,我們先來看看重要的狹義相對性原理。

哦,對了,本來關於狹義相對性原理的內容是要一次寫完的,但一次寫這麼多實在是有點辛苦,所幸我就把它們拆成很多小塊了,這樣也能寫的相對更細緻一些。

一,Minkowski 空間:

1,在狹義相對論中,根據光速不變原理可以直接得到:

,也就是說呢,表達式:,是一個不變量。這個樣子像極了歐幾里得空間中的線元。由此,我們不妨放棄度規的正定性,並定義一種具有非正定度規的流形:,我們稱之為Minkowski空間,其局部坐標為:2,流形是一個平凡流形,這給我們帶來了極大的方便。對於平凡流形,它同時也是一個矢量空間,且同構與它的切空間。這時候我們發現,Minkowski空間與它的餘切空間互為對偶矢量空間。正因為如此,我們可以將「坐標系」與「基底」的概念等同起來,這一點是非平凡流形所不具備的。3,經典力學中動量即為構型空間(具有正定度規)

上的餘切矢,相空間即為餘切叢。同理,對於Minkowski空間,也可以定義類似的四維動量。考慮相對論中的能量-動量關係:,我們定義四維動量為:,。綜上,我們現在有兩個互相對偶的矢量空間與,它們分別是Minkowski時空和動量-能量空間(餘切空間)。它們之間在負定內積誘導出的同構映射的意義下同構。二,洛倫茲變換:1,狹義相對論中,我們關注不同慣性觀者之間的聯繫。每一個慣性觀者對應於上的一條類時測地線,不同慣性觀者之間由線性變換相聯繫,根據物理規律不變性的要求,這一線性變換還必須是保度規的。由此,我們將上的保度規線性變換稱為洛倫茲變換,由上的10個Killing矢量場誘導出的線性變換,加上時間和空間反演可以複合出所有的洛倫茲變換。2,很顯然,所有的洛倫茲變換構成了一個Lie群,我們稱之為龐加萊群:。在不考慮時空平移的情況下,被稱為洛倫茲群。洛倫茲群有四個連通分支,它們由與來標記。我們考慮,它與其與三個連通分支之間同構時間反演與空間反演相聯繫。由此,我們對洛倫茲變換(龐加萊群)的研究,就可以劃歸為研究與3,而本身的定義就是矢量空間上的線性變換,所以它原本就有一種自然的表示。我們可以將其在上的表示寫成繞軸轉動:


其生成元為: 。

boost: ;

其生成元為: 。

由此我們容易計算出 的 Lie代數(稱為龐加萊代數)滿足的對易關係為:

; ; ;

; ; ;

。其中,為時空平移變換的生成元。4,值得注意的一點是,,於是只存在投影表示,而非正常表示,我們可以直接考慮其universal

cover:,這是一個單連通Lie群,故其存在正常表示。由於與的Lie代數同構,它們在物理上給出的內容相同,所以之後我們會直接考慮:。1,考慮到Minkowski空間,與能量-動量空間互為對偶空間,我們還可以考慮在上的對偶表示,即:。也就是說,如果上觀者與觀者通過時空變換相聯繫,那麼兩個觀者觀測到某一對象的由上能量-動量變換相聯繫。在相對論中,力學量表示為時空上的張量場,故不同觀者觀察到張量的分量可能有變化,但張量場本身不會有變化。

由此,這兩種自然的表示在數學上完全等價,我們會依照情況使用時空或四維動量空間的表示。

2,現在,最最關鍵的一點來了,什麼是狹義相對性原理?

我們考慮兩個慣性觀者和,假設它們的時空坐標用洛倫茲變換相聯繫,即:。這時候它們觀測某一物理現象時當然會出現不同,不過即使不同,它們觀測到的物理實質(即物理規律)不能有不同,這就是狹義相對性原理。所以,

在觀者與觀測的物理現象之間必須存在某種「等價聯繫」(例如上面對偶表示中的保度規變換,即反映了四維動量之間的等價聯繫)。綜上,當兩個觀者觀察某一物理現象時,觀者之間的聯繫是,那麼,相應的它們觀測到的物理現象之間的「等價聯繫」應為:。若狹義相對性原理要求我們要去尋找的表示。四,量子態的變換:

再強調一遍我們構造量子場論的動機:我們要構造一種和狹義相對論相容的量子理論。由此我們構造出的量子理論必須滿足狹義相對性原理,和相對論的因果性。這幾次我們主要考慮的是狹義相對性原理。


1,量子力學的態矢空間是某個(依研究的系統而定)複數域上可分的Hilbert space。觀者與觀者之間觀測到的態矢自然是不同的,但是兩者觀測到的物理定律不能有差異。由此,對於滿足狹義相對性原理的量子系統,我們需要考慮的是在復可分Hilbert space上的酉表示,即:,酉算子。這是因為,在Hilbert

space作為狀態空間的量子力學中,酉算子意味著保內積同構,意味著變換前後的等價。2,酉算子在量子力學中的重要性怎麼強調也不為過,給定的生成元,它可以決定上的一條單參子群。進而當考慮酉表示時,給定生成元我們就可以得到(強連續)單參酉群:,這就是時空變化對應的態矢變換。其中為相應Lie代數的表示。3,由Stone可知,控制量子態演化和變換的單參數強連續酉算子群的生成元一定是自伴算子,這裡通過Lie代數表示:。我們可以得到描述量子系統的力學量,實際上,量子力學中絕大多數力學量(自伴算子),都可以通過洛倫茲變換下系統的對稱性來生成,例如:

四維動量算符: ,時空平移變換為: ;

角動量算符: ,空間轉動變換為: 。

(不過,對於非相對論量子力學來說,我們要考慮的是伽利略群的酉表示,利用伽利略變換下的對稱性生成我們熟悉的力學量:,,)。當觀者由時空變換相聯繫時,的力學量之間的變換為:

這次就先到這裡了,不過我們已經把大體的思路講的很清楚了。我們要構造滿足狹義相對性原理的量子理論,接下來無非是把的酉表示應用到各種具體問題中去罷了。類似於量子力學中我們得到的維不可約酉表示,下次我們從構造的不可約酉表示出發,並且將其應用於單粒子態的分類問題。

狹義相對性原理圖片


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