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一個流形,一個宇宙


原理地面上的螞蟻認為,它的世界是平的,而不是彎曲的球體表面。球面上的每個小區域看起來都是普通的歐幾里德空間,處於不同經度的城市仿佛有著平行的時空。流形就是這樣的幾何空間,其上的每個...

- 2018年11月09日18時26分
- 科學文摘 / 原理

原理

地面上的螞蟻認為,它的世界是平的,而不是彎曲的球體表面。球面上的每個小區域看起來都是普通的歐幾里德空間,處於不同經度的城市仿佛有著平行的時空。

流形就是這樣的幾何空間,其上的每個小區域看起來都像普通的歐幾里德空間。例如,球面、圓環面在局部上與二維的歐幾里得空間類似,地球儀的表面可以從南極和北極(或東半球和西半球)投影到兩張平面地圖上。然而,從總體來說,它們卻並不相同:麥哲倫繞著地球一直前行最終會回到起點,而不會走到無限遠處,在地球表面奔跑的夸父永遠不可能追逐到太陽。

○ 圓環面。| 圖片來源:Leonid_2


卡拉比-丘流形(Calabi-Yau

manifold)是一種複流形,可以分解成一片一片,看起來就像是復空間的平面。卡拉比-丘流形之所以特別,是因為它分解的片狀結構只能通過旋轉在復空間的類似物連接起來。在復一維(實空間的二維,因為複數的實數部分和虛數部分占據實數空間的兩個維度)空間,唯一特別好的(緊緻的)解是是環面,但是在更高維度,事情會變得非常有趣。雖然很難用圖像來描繪任何超過兩個實數維的流形,但用代數方程來構造流形的例子卻並不困難。

我們知道,處於二維平面的一維圓形可以用方程x^2+y^2=r^2的實數解來描繪,平面上與原點距離為r的所有點(x,y)構成整個圓。嵌入三維空間的二維球面可以用方程x^2+y^2+z^2=r^2的實數解來描繪,空間中與原點距離為r的所有點(x,y,z)構成整個球面。在更高維度上,我們則可以用方程

的(實數)解來描述n維球體。與此類似,復三維卡拉比-丘流形是通過方程

的複數解來描述的。這個著名的卡拉比-丘流形被稱為「5次多項式(quintic)」。


○ 卡拉比-丘流形。

卡拉比-丘流形最初是由義大利數學家卡拉比(Eugenio Calabi)提出的猜想,丘成桐證明了這個猜想,並表明卡拉比-丘流形具有物理學上非常有趣的性質。愛因斯坦的廣義相對論表明,時空按照能量與動量的分布彎曲,然而,如果空間是空的呢?根據丘定理,不僅平坦空間是廣義相對論方程的解,卡拉比-丘流形也是。

因為這個原因,卡拉比-丘空間是弦論中額外空間維度(6個實數維度)形狀的可能候選對象。在弦論中,人們尤其感興趣的是復三維卡拉比-丘流形,例如5次多項式流形。(進一步閱讀《十個問題,帶你認識弦理論》)

卡拉比-丘5次多項式流形的每一個例子都會給出一個不同的宇宙,每一個宇宙具有一套不同的基本粒子和相互作用。這就使得分類問題——卡拉比-丘5次多項式流形的哪一個例子對應哪一個宇宙,它們的性質是什麼——變得非常有趣。


然而,到目前為止,我們還不清楚這些例子的數量是否為有限。迄今為止,物理學家和數學家已經構建了大約5億個例子<2>。

○ 卡拉比-丘流形的一個模型。| 圖片來源:<1>

在構建卡拉比-丘流形的例子時,物理學家們做了一個奇怪的觀察:它們似乎自然地成對出現,每一個卡拉比-丘流形與一個不同的「鏡像」卡拉比-丘流形相關聯。

只要稍微調整一下弦理論,就可以將卡拉比-丘流形與它的鏡像交換,而不會讓物理學發生任何變化。這使得物理學家在卡拉比-丘流形的幾何結構與其鏡像之間提出許多對應關係。最著名的是由牛津大學的數學家推導出的公式,可以用來計算任何曲線嵌入到一個卡拉比-丘流形有多少種不同的方式。

這可是一個數學難題!令人驚訝的是,許多「弦」定理隨後被嚴格證明,並啟發了許多數學研究。


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